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(獨立)多樣本平均數差異檢定(或稱變異數分析)
ANalysis Of VAriance(ANOVA)

方法簡介
範例A-11(3)
影音教學
維基百科(英文)

又稱變異數分析，由英國統計學家費雪(Ronald Aylmer Fisher, 1890-1962)提出。

方法	(獨立)多樣本平均數差異檢定(或稱變異數分析) ANalysis Of VAriance(ANOVA)
使用時機	當資料中樣本數較大時(通常以樣本筆數≧30為區分標準)。當資料中包含多組樣本(三組以上之樣本)，且欲了解多組樣本間母體平均數是否有差異。
備註	當資料中樣本數較小時(樣本筆數<30)、包含多組樣本(三組以上之樣本)，且欲了解多組樣本間母體中位數是否有差異，可使用(獨立)多樣本中位數差異檢定Kruskal-Wallis test進行分析。母體中位數經常和平均數一樣, 因此檢定中位數差即檢定平均數差。

本方法使用之R相關套件與參考文獻:
相關套件：stats、base 、car、asbio
參考文獻：(依套件名稱排序)

R Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL：http://www.R-project.org/.
John Fox and Sanford Weisberg (2011). An {R} Companion to Applied Regression, Second Edition. Thousand Oaks CA: Sage. URL：http://socserv.socsci.mcmaster.ca/jfox/Books/Companion
Ken Aho; many thanks to V. Winston and D. Roberts (2013). asbio: A collection of statistical tools for biologists. R package version 1.0. URL：http://CRAN.R-project.org/package=asbio

範例A-11：新藥效益的分析

藥物對於國人來說使用率可說是非常的高，從日常容易罹患的感冒、發燒、輕微皮膚疾病及足癬等，還有各種慢性病到嚴重的各種急症及致命的癌症等。藥物種類有內服與外用，顆粒、膠囊與藥膏、藥布等，還有較特殊者需以針筒注射等各種不同型式的藥品。雖然有這麼多的藥品種類，但對於藥品的使用與上市，事實上是非常的嚴格的，必須經過多次的動物與人體試驗及相關單位的審核及檢驗，才能得到上市的許可。在國內，由於工作與經濟上的壓力，失眠已成為大多數人的夢靨，根據我國睡眠學會統計，全國有超過200萬人睡不好，而健保局統計，國人一年吞掉13億顆具有安眠或鎮靜效果的藥丸，安眠藥已經是國內藥物濫用榜排行第三的藥品【服用藥物請遵循醫師指示】。而此問題正代表著安眠藥具有廣大市場，因此引起某藥商的注意，想引進一款最新的安眠藥，實行一系列的人體試驗，在這試驗中廠商準備了三組受試者，每組各有40人，第一組使用廠商引進的新藥物，第二組則是使用坊間最受歡迎的藥物(稱為舊藥物)，最後一組則是給予安慰劑。在使用藥物後記錄每個受試者自服藥後到入眠的時間長短(單位：分鐘)，所有受試者的資料列於表中。

受試者編號	1	2	3	4	...	38	39	40
第一組(新藥物)	22	18	12	8	...	32	19	14
第二組(舊藥物)	29	34	31	20	...	19	13	45
第三組(安慰劑)	35	39	25	26	...	31	26	31

Q3：為了確認安眠藥的藥效，廠商在人體試驗時將安慰劑一起加入，以避免受試者因心理作用而產生錯誤的結果，跟其他兩組比較，新藥是有效的嗎?
問題解析：此處要了解3種藥物的藥效是否有差異，需將新藥物、舊藥物與安慰劑服用後的入眠時間做一比較，討論問題"使用三種藥物後的入眠時間是否有差異?"。
統計方法：此問題中，變數為受試者的入眠時間，為單一變數(一個變數，建議選擇單變數分析)；藥物共有三種可視為有三組的資料，樣本數40大於30；三組受試者之間並無關聯，為獨立樣本；可採用分析方法：(獨立)多樣本平均數差異檢定(或稱變異數分析)(ANalysis Of VAriance, ANOVA)，檢定"使用三種藥物後的入眠時間是否有差異?"。

解析：
1. 此題可建立虛無假設為"使用三種藥物後的入眠時間無差異"，即H0： μ_新藥物= μ_舊藥物= μ_安慰劑。
2. 建立資料檔上傳，檔案格式請參照上傳檔案說明。
3. 依分析步驟說明分析資料。
4. 分析結果：

(獨立)多樣本平均數差異檢定(或稱變異數分析) - 分析結果

分析方法：(獨立)多樣本平均數差異檢定(或稱變異數分析)
資料名稱：範例A-11
檢定變數：_NEW_
分組變數：_GROUP_(新藥物, 舊藥物, 安慰劑)
顯著水準：0.05
計算時間：1.369秒

樣本敘述統計量^I：

變數名稱
Variable 分組變數(_GROUP_)
grouping variable(_GROUP_) 樣本數
Count 平均數
Mean 中位數
Median 最小值
Minimum 最大值
Maximum 標準差
Std. dev.
_NEW_ 新藥物 40 18.925 18 8 46 8.7512
舊藥物 40 32.225 33.5 11 65 11.0998
安慰劑 40 35.425 33 17 72 10.8578
不分組(Total) 120 28.8583 29 8 72 12.4734
I：樣本敘述統計量皆不包含遺失值

檢定變數與分組變數盒鬚圖：

模式摘要：

判定係數
R² 33.08 %

調整判定係數
Adjusted R² 31.94 %

檢定變數平均數
Mean of responses 28.8583

殘差標準誤差
Residual std. err. 10.2905

多樣本變異數(標準差)差異檢定^I：

虛無假設：各母體的變異數相等
H₀：σ₁² = ... = σ₃²

變數名稱
variable F檢定統計量
F-statistics 分子自由度
d.f. of
numerator 分母自由度
d.f. of
denominator 臨界值
F(d.f.1,d.f.2,1-α) p-值^II
p-value

_NEW_ 1.0533 2 117 3.0738 0.35207

I：分組變數為_GROUP_
II：顯著性代碼：‘***’ : < 0.001, ‘**’ : < 0.01, ‘*’ : < 0.05, ‘#’ : < 0.1

變異數分析^I：

虛無假設：各母體的平均數相等
H₀：μ₁ = ... = μ₃

來源
source 平方和
sum of squares 自由度
d.f. 均方和
mean square F檢定統計量
F-statistics 臨界值
F(d.f.1,d.f.2,1-α) p-值^II
p-value

處理
treatment 6125.067 2 3062.533 28.9209 3.0738 6.2247e-11 ***

誤差
error 12389.52 117 105.8934

總和
total 18514.59 119

I：分組變數為_GROUP_
II：顯著性代碼：‘***’ : < 0.001, ‘**’ : < 0.01, ‘*’ : < 0.05, ‘#’ : < 0.1

對比係數^I矩陣：
安慰劑 舊藥物
新藥物 1 0
舊藥物 0 0
安慰劑 0 1
I：與控制對比，控制組：新藥物

對比檢定：

對比
contrast 估計值
estimation 標準差
std. err. t檢定統計量
t-statistic p值
p-value
(Intercept) 18.925 1.6271 11.6314 0
index安慰劑 16.5 2.301 7.1707 0
index舊藥物 13.3 2.301 5.7801 0

殘差分析：

殘差常態分配假設檢定

虛無假設：殘差服從常態分配

W 檢定統計量^I
W-statistic p 值
p-value

0.9665 0.0044

I：Shapiro-Wilk常態性檢定法

殘差變異數齊一性假設檢定

虛無假設：殘差變異數具齊一性

卡方檢定統計量^I
Chi-square statistic 自由度
d.f. p 值
p-value

2.1358 1 0.1439

I：Breusch-Pagan檢定法

殘差獨立性假設檢定

虛無假設：殘差之間互相獨立

一階自我相關
1st order autocorrelation D-W 檢定統計量^I
D-W statistic p 值
p-value

0.2839 1.431 < 1e-04

I：Durbin-Watson檢定法

殘差分析圖

多重比較(分組變數為_GROUP_)：

LSD 差異
Difference 95% 信賴區間 修正P-值
Adj. p-value
下界 Lower 上界 Upper
安慰劑-新藥物 16.5 11.94296 21.05704 0
安慰劑-舊藥物 3.2 -1.35704 7.75704 0.16696
新藥物-舊藥物 -13.3 -17.85704 -8.74296 0
Bonferroni 差異
Difference 95% 信賴區間 修正P-值
Adj. p-value
下界 Lower 上界 Upper
安慰劑-新藥物 16.5 10.91109 22.08891 0
安慰劑-舊藥物 3.2 -2.38891 8.78891 0.500876
新藥物-舊藥物 -13.3 -18.88891 -7.71109 0
Tukey 差異
Difference 95% 信賴區間 修正P-值
Adj. p-value
下界 Lower 上界 Upper
安慰劑-新藥物 16.5 11.03759 21.96241 0
安慰劑-舊藥物 3.2 -2.26241 8.66241 0.34906
新藥物-舊藥物 -13.3 -18.76241 -7.83759 0
Scheffe 差異
Difference 95% 信賴區間 修正P-值
Adj. p-value
下界 Lower 上界 Upper
安慰劑-新藥物 16.5 10.79482 22.20518 0
安慰劑-舊藥物 3.2 -2.50518 8.90518 0.383236
新藥物-舊藥物 -13.3 -19.00518 -7.59482 0
Dunnett
控制組：新藥物差異
Difference 95% 信賴區間
下界 Lower 上界 Upper
安慰劑-新藥物 16.5 11.347779 21.652221
舊藥物-新藥物 13.3 8.147779 18.452221

分析結果建議：由於檢定結果P-值(6.2247e-11) < 顯著水準0.05，因此可拒絕虛無假設。

影音教學內容為本系統資料處理與分析方法之操作說明，
可供使用者即時參考及線上自學，
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虛無假設：各母體的變異數相等 H₀：σ₁² = ... = σ₃²
變數名稱 variable	F檢定統計量 F-statistics	分子自由度 d.f. of numerator	分母自由度 d.f. of denominator	臨界值 F(d.f.1,d.f.2,1-α)	p-值^II p-value
_NEW_	1.0533	2	117	3.0738	0.35207

虛無假設：各母體的平均數相等 H₀：μ₁ = ... = μ₃
來源 source	平方和 sum of squares	自由度 d.f.	均方和 mean square	F檢定統計量 F-statistics	臨界值 F(d.f.1,d.f.2,1-α)	p-值^II p-value
處理 treatment	6125.067	2	3062.533	28.9209	3.0738	6.2247e-11 ***
誤差 error	12389.52	117	105.8934
總和 total	18514.59	119

變數名稱 Variable	分組變數(_GROUP_) grouping variable(_GROUP_)	樣本數 Count	平均數 Mean	中位數 Median	最小值 Minimum	最大值 Maximum	標準差 Std. dev.
_NEW_	新藥物	40	18.925	18	8	46	8.7512
	舊藥物	40	32.225	33.5	11	65	11.0998
	安慰劑	40	35.425	33	17	72	10.8578
	不分組(Total)	120	28.8583	29	8	72	12.4734

判定係數 R²	33.08 %
調整判定係數 Adjusted R²	31.94 %
檢定變數平均數 Mean of responses	28.8583
殘差標準誤差 Residual std. err.	10.2905

	安慰劑	舊藥物
新藥物	1	0
舊藥物	0	0
安慰劑	0	1

對比 contrast	估計值 estimation	標準差 std. err.	t檢定統計量 t-statistic	p值 p-value
(Intercept)	18.925	1.6271	11.6314	0
index安慰劑	16.5	2.301	7.1707	0
index舊藥物	13.3	2.301	5.7801	0

虛無假設：殘差服從常態分配
W 檢定統計量^I W-statistic	p 值 p-value
0.9665	0.0044

虛無假設：殘差變異數具齊一性
卡方檢定統計量^I Chi-square statistic	自由度 d.f.	p 值 p-value
2.1358	1	0.1439

虛無假設：殘差之間互相獨立
一階自我相關 1st order autocorrelation	D-W 檢定統計量^I D-W statistic	p 值 p-value
0.2839	1.431	< 1e-04

LSD	差異 Difference	95% 信賴區間		修正P-值 Adj. p-value
LSD	差異 Difference	下界 Lower	上界 Upper	修正P-值 Adj. p-value
安慰劑-新藥物	16.5	11.94296	21.05704	0
安慰劑-舊藥物	3.2	-1.35704	7.75704	0.16696
新藥物-舊藥物	-13.3	-17.85704	-8.74296	0

Bonferroni	差異 Difference	95% 信賴區間		修正P-值 Adj. p-value
Bonferroni	差異 Difference	下界 Lower	上界 Upper	修正P-值 Adj. p-value
安慰劑-新藥物	16.5	10.91109	22.08891	0
安慰劑-舊藥物	3.2	-2.38891	8.78891	0.500876
新藥物-舊藥物	-13.3	-18.88891	-7.71109	0

Tukey	差異 Difference	95% 信賴區間		修正P-值 Adj. p-value
Tukey	差異 Difference	下界 Lower	上界 Upper	修正P-值 Adj. p-value
安慰劑-新藥物	16.5	11.03759	21.96241	0
安慰劑-舊藥物	3.2	-2.26241	8.66241	0.34906
新藥物-舊藥物	-13.3	-18.76241	-7.83759	0

Scheffe	差異 Difference	95% 信賴區間		修正P-值 Adj. p-value
Scheffe	差異 Difference	下界 Lower	上界 Upper	修正P-值 Adj. p-value
安慰劑-新藥物	16.5	10.79482	22.20518	0
安慰劑-舊藥物	3.2	-2.50518	8.90518	0.383236
新藥物-舊藥物	-13.3	-19.00518	-7.59482	0

Dunnett 控制組：新藥物	差異 Difference	95% 信賴區間
Dunnett 控制組：新藥物	差異 Difference	下界 Lower	上界 Upper
安慰劑-新藥物	16.5	11.347779	21.652221
舊藥物-新藥物	13.3	8.147779	18.452221